Энциклопедический словарь Ф. Брокгауз, И.А. Ефрон. Ф. Брокгауз, И.А. Ефрон. Энциклопедический словарь
Навигация:

DJVU Библиотека
Photogallery

Брокгауз и Ефрон

knolik.com

Статистика:


Эллиптические интегралы и функции

Значение слова "Эллиптические интегралы и функции" в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона



Эллиптические интегралы и функции— Э. интегралами называются все квадратуры вида:

f(x,√ X)dx,

где Х есть какой-либо многочлен (полином) третьей или четвертой степени от х; f есть

какая-либо рациональная функция от х и √ X. Все такие интегралы могут быть выражены в интегралах первого, второго и третьего рода.

Интеграл первого рода в нормальной форме имеет вид:
Φ  
F) = d φ / Δφ , (1)
0  

где Δφ означает корень:

Δφ
= √(1—k 2Sin2 φ).

Значит F есть функция от φ, верхнего предела φ, заключающая в себе еще постоянную величину k, называемую модулем.

Если положим х = Sin φ, то интеграл F(φ), который теперь обозначим через u, будет иметь вид:
x  
u = dx/ [√(1—x2)(1— k2x2 )] = F( φ)
0  

Так как u есть функция от φ, то, обратно, φ есть функция от и. Эту обратную функцию называют амплитудой от и по модулю k. Ее обозначают так: φ = аm(u, k) или просто φ = аm u. Ближайшее рассмотрение показывает, что с равномерным возрастанием u функция аm u возрастает непрерывно, но периодически, то возрастая быстрее, чем следовало бы по закону равномерности, то медленнее, чем следовало бы по тому же закону. Когда φ достигает величин ½, π, 3/2 π, 2 π,., то и достигает величин K, 2K, 3K, 4K.., где
π /2  
K = d φ / Δφ , (2)
0  

Величины х = Sin φ , √(1—х 2) = Cos φ и Δφ суть Э. функции от и; так как φ = аm u, то:

х
= Π (и,а) = A; √(1—x2) = Cos am u,

√(1—k2x2) = Δ amu;

эти функции от и называются синус амплитуда, косинус амплитуда, дельта амплитуда. Из вышесказанного следует, что:

d φ
= d.amu = du. Δφ = Δ amu.du. (3)

Нормальная форма Э. интеграла второго рода следующая:
φ  
E(φ) = Δφ d φ , (4)
0  

а если, согласно предыдущему, ввести вместо d φ выражение (3) его в du, то отсюда, следуя обозначению Якоби, получим:
u  
E(u) = Δ 2 amu du, (5)
0  

При φ равном ½π, когда u (по формуле (2)) обращается в K, интеграл (4) обращается в величину, обозначаемую буквой Е:
π /2  
E = Δφ d φ , (6)
0  

а по формуле (5):

Е
= Е(К).

Дополнительным модулем
назыв. величина k', квадрат которой равен (1k2), так что

k
2 + (k')2 = 1. Означим через Δ 1 φ следующий корень:

Δ 1 φ = √ [1 — (k)2 Sin2 φ ]

и составим следующие интегралы:
π /2  
= d φ / Δ 1 φ ,
0  
π /2  
E = Δφ d φ ,
0  

Лежандр показал, что между четырьмя величинами K, Е, К' и E существует следующая зависимость:

KE' + K'E—KK'
= ½ π (7).

Интегралы третьего рода имеют такой вид:
φ  
d φ /[(1— nSin2 φ) Δφ ]
0  

Якоби взял в качестве нормального вида интегралов этого рода интеграл, обозначенный им через П (и,а), а именно, следующий:
u  
Π (и,а) = A Sin2amu x du /[(1— k2 Sin2amaSin2am u] (8)
0  

где А = k2 Sin am a Cos am а Δ am а.

Как Э. интегралы, так и Э. функции могут быть выражены помощью особой трансцентной функции Θ (u) или θ (x), называемой функцией тета Якоби. Функция эта может быть представлена в виде бесконечного ряда:

Θ (и) = 1 — 2qCos2x + 2q4Cos4x — 2q9Cos3x + 2q16Cos8x —... (9)

или в виде суммы бесконечного числа членов

Θ (u) = θ (x) = ∑(—1)nqn2e2nxi ... (10).

Здесь х имеет иное значение, чем в начале этой статьи; а именно, все входящие в (9) и (10) знаки имеют следующие значения:

x
= π u/2K, q = exp(— π K´/K), i =(1),

n
в сумме ∑ означает всякие целые полож. и отриц. числа от —∞ до + ∞.

При помощи этой функции интегралы второго и третьего рода выразятся так:

E(u)
= (E/K) u + Θ '(u)/ Θ (u) ... (11)

Π (u,a) = u Θ (a)/ Θ '(a) + ½ log[ Θ (u—a)/ Θ (u + a)], (12),

где Θ '(u) означает производную от Θ (u) по u.

Из функции θ (х) Якоби составляет еще три функции следующим образом.

Если прибавить к и величину K, то к х прибавится величина π/2, а если прибавить к u величину (— iK'), то к х прибавится 1/2 ilogq. Новые функции Якоби получает и обозначает таким образом:

θ (х)
= is θ (x + 1/2 ilogq)

θ 2 (х)
= s θ (x + π /2 + ½ ilogq)

θ 3(x)
= θ (x + π /3),

где s = (q)1/4 e x.

В этих функциях выразятся эллиптические функции синус, косинус и дельта амплитуды так:

Sin
am u = (√k) -1[ θ 1(x)/ θ (x)],

Cos
am u = √(k´/k) θ 2(x)/ θ (x),

Δаm u = √k' [ θ 3(x)/ θ (x)],

где x = π u/2K.

Функции эти обладают двоякой периодичностью в следующем смысле.

Если и есть комплексная переменная (см. Мнимые величины): и = х + yi, то каждая из этих функций обратится в Х + Yi , где Х и Y будут функциями от x и у, т. е.:

Х
= f1(x, y,), Y = f2(x, y).

Эти две функции представляют собой две поверхности, покрывающие неограниченную плоскость, точки которой, отнесенные к двум взаимно ортогональным осям имеют абсциссы х и ординаты у. Обе эти поверхности периодичны и имеют период параллельно оси абсцисс и другой период 2К' параллельно оси ординат, так что высота каждой из этих поверхностей над четырьмя точками, имеющими координаты: (х, y), (х + 2К,у), (х, y + 2K'), (x + 2K, у + 2К') одинаковы.

Вейерштрасс (см.) в своей теории эллиптических функций берет следующий Э. интеграл:
 
и = dy /[√(4y3 — g2y — g3)]... (13)
0  

Нижний предел s этого интеграла представляет собой некоторую Э. функцию от u; эту функцию обозначим так: s = pu;

квадрат её производной по u выразится так:

(p'u)2
= (dpu/du)2 = 4(pu)3 — g2pug3. (14).

Вторая часть этого равенства может быть представлена в виде:

4[(рu — e
1)(pu — e2)(pu — e3)],

где е 1, е 2, е 3 суть три корня уравнения третьей степени 4 y3g2y g3 = 0. Величины g2 и g3 называются инвариантами этого уравнения. Составленное из них выражение

Δ = g32—27g32

называется дискриминантом уравнения. Если он положительный, т. е. Δ>0, то все три корня уравнения действительные. Мы условимся называть через е 1 больший, через е 2 средний и через е 3 меньший корень, причем е 1 положительная величина, е 3 — величина отрицательная. Сумма е 1 + е 2 + е 3 равна нулю. Когда дискриминант отрицательный, то только один корень, который назовем через е 2, действительный, два другие мнимые сопряженные; тот, у которого мнимая часть положительная, означим через е 1. В этом случае, конечно, также е 1 + е 2 + е 3 = 0.

Функция pu имеет два примитивные периода
 
2 ω 1 = dy /[√(4y3 —g2y —g3)] = 2K/[√(e1 — e3)]
0  

и 2ω 3 = 2K/[√(e1 — e3 )],

причем р ω 1 = е 1, рω 3 = е 3, а если положить ω 2 = ω 1 + ω 3, то р ω 2 = е 2.

Величины k2 и k'2 выражаются так:

k2
= (е 2е 3 )/ (е 1е 3), (k')2 = (е 1е 2 )/(е 1е 3).

Когда k2 есть действительная величина, то точки 0, 2 ω 1, 2 ω 3 находятся на плоскости u в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего вершину прямого угла в точке 0.

Когда k2 есть комплексная величина с положительной мнимой частью, то точки 0, 2ω 1, 2 ω 3, образуют остроугольный треугольник, с острым углом при 0. Если же мнимая часть комплексной величины k2 отрицательная, то 0 будет вершиной тупого угла.

Функция pu может быть выражена следующим образом через синус амплитуды:

рu
= e3(e1e3)/ [Sin2am(u√(e1e2)];

отсюда не трудно выразить в pu все три Э. функции.

Вместо функции тета Вейерштрасс вводит функцию σ u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению:

рu
= (d2/du2 ) log(σ u).

Теория Э. функций, по изложению Якоби, находится в следующих книгах: "Fundamenta nova theorise functionum ellipticarum" (в 1-м томе "Jacobi's gesammelte Werke", Б., 1881); Dur ège, "Theorie der elliptischen Func tionen" (Лпц., 1861). Теория по Вейерштрассу изложена в книгах: Halphen, "Trait é des fonctions elliptiques" (1-я часть, П., 1886); Appell et Lacour, "Principes de la th é orie des fonctions elliptiques" (П., 1897); Schwarz, "Formeln und Lehrs ätze zum Gebrauc he der elliptischen Functionen, nach Vorlesungen und Anzeichnungen von Weierstrass"; Enneper, "Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte" (2-е изд., Галле, 1890).

Д. Б.

В Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона рядом со словом "Эллиптические интегралы и функции"

Эллипсоид | Буква "Э" | В начало | Буквосочетание "ЭЛ" | Эллис, Александр


Статья про слово "Эллиптические интегралы и функции" в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона была прочитана 667 раз


Брокгауз и Ефрон, избраное