Чисел теория

Определение "Чисел теория" в словаре Брокгауза и Ефрона

Чисел теория — часть математического анализа, которая занимается решением неопределенных уравнений в целых Ч. В простейшем случае задача состоит в следующем. Найти целые значения для x и y, которые удовлетворяют уравнению: f (x,y)=0. Если f (x,y)= φ (x)-ny, то вопрос приводится к нахождению такого значения для x, при котором φ (x) делится на n, или, как говорят иначе, φ (x) сравнимо с нулем по модулю n. Таким образом, теория сравнений (см. соотв. статью) есть часть теории Ч.
Решение неопределенных уравнений вида

ax² + bxy + су ² + dx + ey + f = 0
относится к теории квадратичных форм. Это — вторая часть теории Ч. Здесь оказывается очень полезным применять непрерывные дроби.
К третьей части можно отнести применение теории сравнений к делению круга (см.).

Особый отдел составляют вопросы о простых Ч.: о числе простых Ч. в данном промежутке; доказательство теоремы Дирихле, состоящей в том, что арифметическая прогрессия

a, a + b, a + 2b, a + 3b,... (a простое с b)
содержит бесчисленное множество простых Ч.
Эти вопросы излагаются в теории Ч., хотя они и не относятся к решению неопределенных уравнений.

Наконец, в теории Ч. рассматриваются вопросы, относящиеся к делимости целых алгебраических Ч., т. е. Ч., удовлетворяющих уравнению вида

xⁿ + a₁x^n-1 + а ₂x^n-2 +...+ a_n-1x + a_n = 0,
где коэффициенты целые рациональные числа.

К сочинениям, указанным в ст. Сравнение (см.), добавим: Е. Золотарев, "Теория целых комплексных чисел" (СПб., 1874); Иванов, "Целые комплексные числа" (СПб., 1891); Ю. Сохоцкий, "Начало общего наибольшего делителя в применении к теории делимости алгебраических Ч." (СПб., 1893); D. Hilbert, "Die Theorie der algebraischen Zahlkö rper" ("Deutsche Mathemati ker Vereinigung", 4 т., Берлин, 1897); H. Weber, "Lehrbuch der Algebra" (т. 1 и 2, Брауншвейг, 1898, 1899).

Д. С.