Симметрические функции

Определение "Симметрические функции" в словаре Брокгауза и Ефрона

Симметрические функции — Функция от n переменных х ₁, x₂,..., х _n наз. симметрическою, если она не меняется при всевозможных перестановках этих переменных. Например: x₁²x₂ + x₁²x₃ + х ₂²x₁ + x₂²x₃ + x₃²x₁+ x₃²x₂ есть С. функция, так как она не меняется при всех перестановках букв х ₁, x₂ и x ₃. Эта функция вполне определяется одним членом х ₁²x₂ и потому для краткости обозначается через Σ x₁²x₂. Подобным же образом С. функции от x₁, x₂, x₃ и х ₄

Σ x₁²x₂² = x₁²x₂² + x₁²x₃² + x₁²x₄² + x₂²x₃² + x₂²x₄² + x₃²x₄².

С. функции называются элементарными, если каждая из переменных входит только в первой степени. В случае n переменных все элементарные С. функции суть

Σ x₁ = с ₁, Σ x₁x₂ = c₂, Σ x₁x₂x₃ = c₃,... , х ₁x₂...x_n = с _n.

Здесь введены буквы c₁, c₂,..., с _n для обозначения этих функций.

Если x₁, x₂,..., x_n корни уравнения f(x) = xⁿ + p₁x^n—1 + p₂x^n—2 +... + p_n—1x + P_n = 0, то

c₁ = —p₁, c₂ = p₂, c₃ = —p₃,..., c_n =(—1)ⁿp_n.

Всякая целая С. функция от x₁, x₂,..., х _n есть целая функция от с ₁, c₂,..., с _n.

Вычислить С. функцию значит выразить ее через элементарные С. функции. Для вычисления С. функции. S_m = Σ x₁^m служат следующие формулы Ньютона

s₁ — с ₁ = 0

s₂ — c₁s₁ + 2 с ₂ =0

s₃ — c₁s₂ + c₂s₁ — 3c₃ = 0

s_n — с ₁s_n—1 + c₂s_n—2 —... + (—1)ⁿncⁿ = 0

s_n+k — c₁s_n+k—1 + c₂s_n+k—2 —. + (—1)ⁿc_ns_k = 0.

Для вычисления С. функции более сложного вида могут служить формулы
Σ x₁ ^α x₂ ^α = 1/2[(s _α)² — s_{2 α} ]

Σ x₁ ^α x₂ ^β = s _α s _β — s _{α + β} , α не = β

Σ x₁ ^α x₂ ^α x₃ ^α = 1/6[s _α ³ — 3s_{2 α} s _α + 2s_{3 α} ]

Σ x₁ ^α x₂ ^α x₃ ^β = 1/2(s _α ²s _β — s_{2 α} s _β — 2s _{α + β} s _α + 2s_{2 α + β}

Σ x₁ ^β x₂ ^β x₃ ^γ = s _α s _β s _γ — s _{α + β} s _γ — s _{α + γ} s _β — s _{β + γ} s _α + 2s _{α + β + γ} .

Здесь числа α, β и γ различны между собой. В курсах высшей алгебры Serret, Salmon, Weber и др. можно найти различные приемы для вычисления С. функций. При помощи С. функций решаются различные вопросы: рациональные функции от корня уравнения приводятся к целому виду; составляется уравнение, которому удовлетворяет данная функция от корней; исключаются переменные из системы уравнений и т. д.

Д. С.