Правила ложных положений

Определение "Правила ложных положений" в словаре Брокгауза и Ефрона

Правила ложных положений — regulae falsi или falsorum, также numeratio divinationis зап.-европ. арифметических учебников как средневековых, так и нового времени почти до исхода XVIII в. Первоначально представляли два вида методов (ныне совсем оставленных) решения линейных уравнений. Простейший из этих методов П. одного ложного положения (ishta karman индусских математических сочинений, в Зап. Европе — r é gula falsi simplicis positionis) состоял в замене неизвестного произвольно взятым числом и в следующем за тем определении истинной величины неизвестного на основании пропорциональности, существующей между ним, его произвольным значением и соответствующими результатами указываемых условиями задачи вычислений. Примером может служить следующая задача, заимствованная из "Liber Abaci" Леонарда Пизанского. Определить высоту дерева, часть которого, сидящая под землей и равная 21 пяди, составляет треть и четверть его высоты. Если принять за искомую высоту число 12, как делящееся на 3 и на 4, то для подземной части дерева получится число 7, приводящее, очевидно, к пропорции 7:21 = 12:x, в которой х есть равное 36 истинное значение неизвестного. Употребление этого метода встречается уже в Папирусе Ринда (см. задачу № 40 по изд. Эйзенлора). П. двух ложных положений изобретено индусами, от которых перешло к арабам, доставившим ему очень широкое распространение как в собственной математической литературе, под именем "метода чашек весов", так и через ее посредство в литературе Европы. Теоретически это П. может быть выведено следующим образом. В решаемое уравнение ax + b = 0 подставляются последовательно вместо х произвольные числа (ложные положения) z₁ и z₂ обращающие первую часть уравнения соответственно в числа φ ₁ и φ ₂, назыв. обыкновенно ошибками уравнений. Вычитание полученных тождеств

az₁ + b = φ ₁ и az₂ + b = φ ₂ из первоначального уравнения дает уравнения

а (х — z ₁) = — φ ₁ и а (x — z₂) = — φ ₂, откуда

a = φ ₁/(z₁ — x) или (x — z₁₎/(x — z₂) = G₁/ φ ₁,

т. е. ошибки подстановок (х — z ₁ и х — z ₂ пропорциональны ошибкам уравнений. Определение х из последнего уравнения и дает формулу, представляющую П. двух ложных положений:

x = (z₂ φ ₁ — x₁ φ ₂)/(φ ₁ — φ ₂).

Из западноевропейских арифметических учебников П. ложных положений перешло в русские арифметические рукописи XVII в., в "Арифметику" Магницкого и в учебники XVIII и даже начала XIX ст. Подобно арабам, русские ввели в свое употребление только П. двух положений, о могуществе и значении которого имели самое высокое мнение, как это можно видеть, напр., из следующего определения, данного в одной из рукописей XVII в. (рук. 682 из собрания В. М. Ундольского в Румянцевском музее): "статия цыфирная болшая, еже именуется вымышленная, или затейчивая, или збойливая, высокого и остропамятного разума. ее-же нецыи искуснии проводницы фалшивою строкою нарекоша, еже есть збойливою, еже ни малым погрешиша". Выведенная выше формула, выражающая правило двух ложных положений, излагается в наших арифметических рукописях XVII в. более древней редакции в следующем виде: "Сия статья фальшивая или збойливая; буди ти ведомо, как ею считати во всяких статиях и переводах, что ти приведется считати. И ты возьми число велико или мало и считай, и, как сочтешь, приложи к тому перечню, который ищешь. И будет ти число боле того перечня стало во счете, и ты намети сице +; и чем боле того перечня стало, то у креста постави. А будет ти мене, и ты намети сице ; и чем мене, то у тое черты постави. Да опять емли другое число и считай такоже, да прикладывай к тому перечню, который ищешь. И будет ти боле или мене, и ты теми же знамены знаменуй. Да и постави счет на крест. Первое число постави, чем искал, вверху по левую руку креста; а что у него осталось боле или мене, то против того же числа постави по правую руку, а меж ими постави знамя; только боле, и ты постави +; а буде мене, и ты постави . Да другое число такоже постави внизу противо тех же чисел, чем искал; и что осталось боле или мене тако-ж знамя меж ими постави. Да считай на крест верхний с нижними; и буде оба боле или мене, исчетши большое число, да меньшее число из большего числа выни, да то на дел и стави. А деловую тако-ж: остатки из остатков выни, и что ся останет тем большой перечень и дели; и что ти из делу выдет, то и правда. А буде не одинаки остатки: один боле, а другой мене, и ты не вычитай, только складывай вместо; большие перечни и деловые також дели". Между многочисленными задачами, решенными в рукописях XVII в. по П. двух ложных положений, кроме большинства, занимающегося уравнениями 1-ой степени с одним неизвестным, встрчаются также и посвященные уравнениям 1-ой степени с двумя, тремя и четырьмя неизвестными. В западно-европейской математической литератypе П. двух ложных положений, начиная с XVI ст., очень нередко прилагалось разными математиками к решению уравнений 2-й, 3-й, 4-й и высших степеней. О правиле двух ложных положений см. Б. В. Бобынин, "Очерки истории развития физико-математических знаний в России" (т. I, вып. 1-й, стр. 88 — 104); об его приложении к решению уравнений первых четырех степеней см. L. Matthiessen, "Grundz ü ge der ani tiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen" (Лейпц., 1878, стр. 273 — 282, 319 — 324, 458 — 465, 667 — 670 и 924 — 926).

В. В. Б.