Интерполирование

Определение "Интерполирование" в словаре Брокгауза и Ефрона

Интерполирование в математике — один из важнейших способов приближенного вычисления. Задача И. заключается в том, чтобы по данным величинам некоторой функции для известных значений переменных независимых (аргументов) найти величину функции для произвольного (обыкновенно промежуточного) значения этих переменных независимых. Этой задачей занимались Валлис, Ньютон, Эйлер и другие математики. Найти формулу И. значит заменить искомую функцию более простой, обыкновенно многочленом, причем коэффициенты и степени этого многочлена подбираются так, чтобы значение его для данного значения переменных независимых совпадало с заданными значениями искомой функции. Формулы И. представляют выражения, в которых искомая функция представляется при помощи данных величин функции и их последовательных разностей. В нижеследующей таблице в первом столбце стоят последовательные аргументы (значения независимой переменной), во втором — соответствующие величины функции, а в следующих — последовательные разности, так что b''' = а" — а''', b" = а' — а"... с" = b" — b"'...

Для вычисления величины функции а для аргумента Т + nh, где n < 1, можно употребить одну из следующих формул И.:

Формула Ньютона.

a = a_o + {(b' + b₁)/2 — 1/6[(d' + d₁)/2] +...}n + {c_o/2 — e_o/24 +...}n² + {1/6[(d' + d₁)/2] —...}n³ +...

Формула Бесселя.

a = a_o + nb₁ + [n(n — 1)/1.2].[(c_o + c₁)/2] + [n(n — 1)(n — 1/2)/1.2.3]d₁ + [(n + 1).n(n — 1)(n — 2)/1.2.3.4].[(e_o + e₁)/2] +...

Формула Стирлинга.

a = a_o + [(b' + b₁)/2]n + c_o(n²/1.2) + [(d' + d₁)/2].[(n — 1)n(n + 1)/1.2.3] + e_o[(n — 1)n²(n + 1)/1.2.3.4] + ...

Числовой пример. Даны склонения Луны для отдельных моментов, следующих через 12 часов, и требуется найти склонение Луны для 2 янв. в 15 час. среднего времени.

Для 15 ч. 2-го января n = ¼, и потому, употребив одну из вышеприведенных формул И., получится а = 12°58'59,4".

Простейший случай И. встречается при подыскивании логарифмов чисел, которые в таблицах даются лишь для известных последовательных значений аргумента. В этом случае аргументы настолько сближены, что действительное значение имеют только первые разности; прочие разности равны нулю, и потому все вышеприведенные формулы обращаются в a = a_o + nb, т. е. И. сводится к решению простой пропорции.

При помощи И. производится и нахождение аргумента для данного промежуточного значения функции, т. е. решается и обратная задача. В этом случае одну из формул И. нужно решить относительно неизвестной n. Так как коэффициенты у различных степеней n весьма быстро уменьшаются, то вычисление производится последовательными приближениями, причем для первого приближения принимается n = (a — a₀)/b. При вычислении по таблицам чисел по данному логарифму это первое приближение есть уже окончательное решение.

Если аргументы не представляют арифметической прогрессии и величины функции даны для нескольких произвольных значений аргументов х ₁, х ₂. х_п, то величина функции для всякого другого значения аргумента x вычисляется по формуле Лагранжа:

F(x) = U₁{[(x — x₂)(x — x₃) ... (x — x_n)]/[(x — x₂)(x₁ — x₃) ... (x₁ — x_n)]} + U₂{[(x — x₁)(x — x₃)... (x — x_n)]/[(x₂ — x₁)(x₂ — x₃) ... (x₂ — x_n)]} +... + U_n{[(x — x₁)(x — x₂) ... (x — x_n-1)]/[(x_n — x₁)(x_n — x₂) ... (x_n — x_n-1)]} +...
где U₁ = F(x₁), U₂ = F(x₂) ... U_n = F(x_n).

Употребление этой формулы встречается при И. наблюдений.

Геометрическое значение И. заключается в проведении параболы высших степеней через ряд данных точек на плоскости. Чем число данных точек больше, тем проведенная через них парабола ближе к неизвестной кривой. Если положение точек определено лишь с известной степенью приближения (напр. из наблюдений), то от интерполяционной кривой требуется иногда не то, чтобы она прошла через все данные точки, а чтобы она заняла некоторое среднее положение, по возможности меньше уклоняясь в ту или другую сторону от этих точек.

Для функций от двух и более аргументов формулы И. значительно сложнее. Когда приходится пользоваться таблицами с двумя входами, то на практике прибегают к двум последовательным И. сперва по одному, а затем по другому аргументу.

В практических приложениях определение значения функции для аргумента, лежащего не между данными, а вне их, известно под названием экстраполирования и совершается по правилам И. с той лишь разницей, что некоторые разности приходится вычислять, считая число их ограниченным. Числовые результаты экстраполирования всегда менее благонадежны, чем результаты И. Литература см. Исчисление конечных разностей.

B. Витковский.