Гессиан

Определение "Гессиан" в словаре Брокгауза и Ефрона

Гессиан — Функциональным определителем n функций: f₁, f₂, f₃,... f_n от n независимых переменных x₁, x₂, x₃ ... x_n называется определитель вида:

df₁/dx₁, df₁/dx₂,... df₁/dx_n

df₂/dx₁, df₂/dx₂,... df₂/dx_n

...
...

df_n/dx₁, df_n/dx₂,... df_n/dx_n

Если теперь под функциями f₁, f₂,... f_n мы будем разуметь частные произведения некоторой функции U от n независимых переменных x₁, x₂,... x_n, так что

f₁ = dU/dx₁, f₂ = dU/dx₂, f₃ = dU/dx₃,..., f_n = dU/dx_n,

то указанный определитель есть так называемый гессиан функции U относительно независимых переменных х ₁, х ₂, x₃,... x_n.

Такого рода определитель ввел в рассмотрение проф. Гессе в теории алгебраических линий на плоскости и алгебраических поверхностей, причем он доказал две весьма примечательные теоремы. 1) Если уравнение U = 0 в однородных координатах (см. Координаты) определяет некоторую кривую n -ого порядка, где, очевидно, U есть однородная функция n-ой степени относительно трех координат х ₁, х ₂, х ₃, то условие необходимое и достаточное, чтобы эта кривая была системой n прямых линий, выходящих из одной и той же точки, состоит в том, чтобы гессиан функции U, взятый относительно координат х ₁, х ₂, х ₃, тождественно равнялся нулю. 2) Если уравнение U = 0 в однородных координатах определяет некоторую алгебраическую поверхность в пространстве, где, очевидно, U есть однородная функция некоторой n -ой степени относительно четырех координат х ₁, х ₂, х ₃, x₄, то условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эта поверхность была конусом, состоит с тождественном уничтожении гeccиaнa функции U относительно сказанных координат х ₁, х ₂, х ₃, x₄.
Д. Гр.