Брахистохрона

Определение "Брахистохрона" в словаре Брокгауза и Ефрона

Брахистохрона — кривая быстрейшего ската (от греческих слов (βράχισ τος — кратчайший и χρόνος — время). В первоначальном своем значении слово это применялось к кривой, по которой материальная точка, двигаясь под влиянием одной только силы тяжести, переходит из одной данной точки в другую в кратчайшее время. В настоящее время то же название распространено и на случай действия на движущуюся точку каких угодно сил, не только силы тяжести. Задача о нахождении Б. имеет большой исторический интерес в математике, так как она привела к изобретению вариационного исчисления (см. это сл.). В 1697 г. Иван Бернулли, бывший тогда профессором математики в Гронингене, предложил геометрам задачу о кривой наименьшего ската, которую он определил следующим образом. Из некоторой точки А опущено тело; требуется найти, по какой кривой должно заставить его двигаться, чтобы оно пришло наискорейшим образом в некоторую другую точку В. Лейбниц решил задачу Бернулли в тот же день, когда он получил его программу. Оба условились не открывать никому своих решений и дать другим математикам целый год времени для состязания, о чем и было объявлено Иваном Бернулли во многих журналах. До истечения назначенного срока и почти в одно и то же время было опубликовано три решения задачи. Авторы их были: Яков Бернулли, профессор математики в Базеле, брат Ивана Бернулли; маркиз де л'Опиталь и Ньютон. Решение последнего было напечатано без имени автора в Трудах Лондонского королевского общества, но И. Бернулли тотчас отгадал автора. Все эти решения одинаково приходили к результату, что линия кратчайшего ската есть циклоида с горизонтальным основанием, выдающаяся точка которой находится в верхней из данных двух точек. В то же время было уже известно, что циклоида есть также тотохрона (см. это слово) для движения под влиянием силы тяжести, как показал Гейгенс. Раньше только что изложенного события, вопрос о Б. занимал умы некоторых ученых, но не мог быть решен вследствие недостаточности анализа. Так, напр., Галилей ошибочно думал, что дуга круга удовлетворяет условиям брахистохронизма. В практике Б. имеет применение при постройке так наз. гор, ледяных или дощатых (за границею они известны под именем "русских гор"). В самом деле, из свойства циклоиды как Б. следует, что наивыгоднейшая форма, которую можно придать горам, есть именно циклоидальная. Строители гор, не знакомые, конечно, с теоретическими изысканиями математиков, пришли, однако, сами, эмпирически, к такой форме, которая весьма близко совпадает с циклоидальною. Точное совпадение с циклоидой не требуется и самой теорией, которая доказывает, что циклоида есть Б. в том случае, когда не принимается в расчет сопротивление воздуха, которое, однако, во всех практических случаях имеет весьма малое значение.

Изложим способ, которым задача о Б. была решена самим Бернулли. Во-первых, очевидно сразу, что искомая кривая должна лежать в вертикальной плоскости, проходящей через две заданные точки А и В. Далее, легко видеть, что если время ската через всю кривую есть minimum, то и для каждого отдельного отрезка время ската по искомой кривой меньше, чем время ската по какой бы то ни было иной кривой, которою можно заменить этот отрезок. Воспользуемся следующим простым принципом: между двумя равными значениями какого-нибудь количества, изменяющегося непрерывно, должен находиться по крайней мере один maximum или minimum этого количества. Итак АС, СВ и АС', С'B суть две пары бесконечно малых сторон многоугольника такого свойства, что время ската по каждой паре одинаково, причем, кроме того, прямая СС' бесконечно малая величина второго порядка и горизонтальна. Тогда брахистохрона должна лежать между этими двумя путями и должна обладать всяким свойством, общим обоим путям. Опустим из точек С, С' перпендикуляры Са, С'a' на ВС' и АС, тогда мы должны иметь

Са':v = C'a:v'

где v, v' суть скорости движения по соответствующим прямым, которые, в течение бесконечно малого промежутка времени передвижения по проведенным прямым, можно считать постоянными. Пусть θ есть угол наклонения АС к горизонту, θ ' угол наклонения СВ. Тогда будет

Са' = CC'co s θ, C'a = CC'сosθ '

откуда cos θ:v = cos θ ':v'.

Эта формула должна иметь место для каждых двух последовательных элементов кривой, т. е. мы должны иметь постоянно v пропорционально cos θ. Но, с другой стороны, v² пропорционально разности высот между начальным и данным положением точки; итак, искомая кривая обладает тем свойством, что косинус угла ее с некоторою постоянною горизонтальною прямою пропорционален расстоянию от прямой параллельной первой (т. е. так же горизонтальной), проходящей через начальную точку кривой. Таким свойством обладает циклоида. Аналитически задачу о Б. легко решить при помощи вариационного исчисления. Пусть ось x горизонтальна, ось у направлена по вертикали вниз; время ската будет

Нужно найти такую форму кривой, для которой этот интеграл обращается в минимум. Написав вместо ds его выражение √(1 + y²), вместо v его выражение √(2gy), имеем:

Откуда √(1 + y'²) = c/√y или (ds)/(dy) = √[a/(a — y)],
где а = с ², а это есть дифференциальное уравнение горизонтальной циклоиды.

Если требуется найти Б. не между двумя заданными точками, а в более общем виде между двумя точками, лежащими на двух неподвижных кривых, уравнения которых заданы, то следует ввести в рассмотрение вариации конечных точек брахистохроны. Результат покажет, что Б. нормальна в конечной точке к кривой, на которую она скатывается, и что касательные к заданными кривым в точках пересечения их с Б. параллельны. Исследование второй вариации показывает, что она существенно положительная величина, а не обращается в ∞, т. е. найденное решение действительно выражает искомый минимум. В более общем виде — разыскание брахистохроны для точки, подверженной каким угодно силам, имеющим потенциал также сводится к разысканию минимума интеграла

т. е. к решению уравнения

или

Раскрывая эти выражения и принимая во внимание, что в конечных точках δ x = 0, δ y = 0, δ z = 0 имеем три уравнения вида

[d/dt][(1/v)(dx/dt)] + X/v = 0.

Исключая из этих уравнений t и v, получим 2 дифференциальных уравнения в x, у, z искомой кривой. Исследование только что полученных трех уравнений показывает, что равнодействующая всех приложенных сил заключается в оскулирующей плоскости к Б. и что нормальная составляющая приложенных сил в Б. равна и прямо противоположна нормальной составляющей тех сил, при действии которых материальная точка описывала бы с тою же самою скоростью ту же кривую. Отсюда, напр., непосредственно следует, что при действии постоянной отталкивательной силы, исходящей из неподвижной точки, Б. есть парабола, фокус которой находится в данной точке; точно так же эллипс есть Б. для силы отталкивательной, исходящей из одного фокуса и обратно пропорциональной квадрату расстояния от другого фокуса, и т. п. В некоторых частных случаях центральных сил Б. есть эпициклоида (см., напр., Будаев, "Теоретическая механика").

И. Клейбер.